Question

【题目】在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于点（点在点的左侧），与轴正半轴交于点，．

（1）如图1，求的值；

（2）如图2，抛物线的顶点坐标是，点是第一象限抛物线上的一点，连接交抛物线的对称轴于点，设点的横坐标是，线段的长为，求与的函数关系式；

（3）如图3，在（2）的条件下，当时，过点作轴交抛物线于点，点是轴下方抛物线上的一个动点，连接交轴于点，直线经过点交于点，连接，过点作交于点，若，求点的坐标．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）．

【解析】

（1）根据得出B,C的坐标，令即可求出m的值，将B的坐标代入抛物线的解析式中即可求出a的值；

（2）过点D作于点I，设MN与x轴的交点为J，先利用抛物线的解析式求出M的坐标，然后利用平行线分线段成比例有，代入相应的值计算即可得出答案；

（3）先根据求出此时D,E的坐标，然后将点D的坐标代入中求出直线的解析式，设G点的坐标为，利用待定系数法求出直线GE的解析式，进而求出F的坐标及，然后利用待定系数法求出GC,EH的解析式，进而求出H点的坐标，然后表示出，然后利用求出ｍ的值，进而求出直线GE的解析式，通过直线GE的解析式与抛物线解析式联立即可求出P点的坐标．

（1）

．

令，

解得，

，

，

∴抛物线的解析式为 ，

将点代入得，，

解得 ；

（2）如图，过点D作于点I，设MN与x轴的交点为J，

∵ ，

，

．

∵点的横坐标是，

∴，

．

轴，轴，

，

．

，

，

解得 ；

（3）如图，

当时，，解得 ，

此时D的坐标为 ．

轴，

∴点E的纵坐标也是4，

令，

解得或，

∴ ．

∵直线经过点，

∴，

解得 ，

∴ ．

设点G的坐标为 ，

设直线EG的解析式为 ，

将代入解析式中得

解得

∴直线EG解析式为 ，

令 ，即，解得 ，

，

∴，

．

设直线GC的解析式为 ，

将代入解析式中得

解得

∴直线GC解析式为 ．

∵，

∴设直线EH解析式为，

将点代入得，

解得 ，

∴直线EH解析式为．

将直线GD的解析式与直线EH的解析式联立，

解得

∴，

．

∵，

∴，

解得或．

当时，GE的解析式为，

将直线GE的解析式与抛物线的解析式联立，

解得 或（点E的坐标，舍去），

∴ ；

当时，GE的解析式为，

将直线GE的解析式与抛物线的解析式联立

解得(点C的坐标，舍去) 或（点E的坐标，舍去），

∴综上所述，点P的坐标为 ．