Question

7．在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，∠MCN=45°
（1）当点M、N在AB上时，求证：MN²=AM²+BN²；
（2）将∠MCN绕点C旋转，当点M在BA的延长线上时，若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）作AF⊥AB，使AF=BE，连接DF，根据SAS证得△CAF≌△CBE和△CDF≌△CDE，再由勾股定理和等量代换即可解答；
（2）作AF⊥AB，使AF=BE，连接DF，根据SAS证得△CAF≌△CBE和△CDF≌△CDE，再由勾股定理和等量代换即可解答．

解答 （1）证明：如图，

过点A作AF⊥AB，使AF=BN，连接DF，CF，
∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠B=45°，
∴∠FAC=45°，
∴△CAF≌△CBN（SAS），
∴CF=CN，
∠ACF=∠BCN，
∵∠ACB=90°，∠DCN=45°，
∴∠ACM+∠BCN=∠ACB-∠MCN=90°-45°=45°，
∵∠ACF=∠BCN，
∴∠ACM+∠ACF=45°，
即∠MCF=45°，
∴∠MCF=∠MCN，
又∵CM=CM，
∴△CMF≌△CMN（SAS），
∴MF=MN，
∵AM²+AF²=MF²，
∴AM²+BM²=MN²；

（2）结论仍然成立；如图，

证明：过点A作AF⊥AB，使AF=BN，连接MF，
∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠B=45°，
∴∠FAC=45°，
∴△CAF≌△CBN（SAS），
∴CF=CN，
∠ACF=∠BCN，
∵∠BCN+∠ACN=90°，
∴∠ACF+∠ACN=90°，即∠FCN=90°，
∵∠MCN=45°，
∴∠MCF=45°，
∴∠MCF=∠MCN，
又∵CM=CM，
∴△CMF≌△CMN（SAS），
∴MF=MN，
∵AM²+AF²=MF²，
∴AM²+BN²=MN²．

点评 此题主要考查旋转的性质，勾股定理及三角形全等的判定与性质，解答时要充分分析里面的条件与问题之间的联系．