Question

【题目】如图，在以AB为直径的半⊙O上有点C，点D在上，过圆心作OF⊥CD的于点F，OF、AD的延长线交于点E，连结CE，若∠DEC＝90°．

（1）试说明∠BAC＝45°；

（2）若DF＝1，△ACE的面积为△DCE面积的3倍，连接AC交OE于点P，求tan∠ACD的值和OP的长；

（3）在（2）的条件下，延长EC与AB的延长线相交于点G，直接写出BG的长　 　．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）tan∠ACD＝，OP＝；（3）

【解析】

（1）连接BC，由垂径定理得出OF垂直平分CD，得出△CDE是等腰直角三角形，∠DCE＝∠CDE＝45°，由圆内接四边形的性质得出∠ABC＝∠CDE＝45°，由圆周角定理得出∠ACB＝90°，即可得出结论；

（2）连接OC、BD，由题意求出AE＝3DE＝3，AD＝2，由勾股定理得出AC＝＝2，由圆周角定理得出∠ACB＝∠ADB＝90°，得出△ABC是等腰直角三角形，BC＝AC＝2，AB＝AC＝2，得出OC＝OA＝OB＝，由勾股定理得出BD＝＝4＝2AD，再由圆周角定理和三角函数即可得出tan∠ACD＝tan∠ABD＝＝；证明△PCF∽△ABD，得出＝，求出PF＝，由勾股定理得出OF＝＝3，即可得出OP的长；

（3）由等腰直角三角形的性质得出OC⊥AB，证明△OCG∽△EAG，得出＝＝，即＝＝，解得：BG＝，CG＝5即可．

（1）证明：连接BC，如图1所示：

∵OF⊥CD，

∴DF＝CF，

∴ED＝EC，

∵∠DEC＝90°，

∴△CDE是等腰直角三角形，

∴∠DCE＝∠CDE＝45°，

∴∠ABC＝∠CDE＝45°，

∵AB是直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠BAC＝45°；

（2）解：连接OC、BD，如图2所示：

∵DF＝CF＝1，

∴CD＝2，△CDE是等腰直角三角形，

∴ED＝EC＝，

∵△ACE的面积为△DCE面积的3倍，

∴AE＝3DE＝3，AD＝2，

∴AC＝＝＝2，

∵AB是半⊙O的直径，

∴∠ACB＝∠ADB＝90°，

∵∠BAC＝45°，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴BC＝AC＝2，AB＝AC＝2，

∴OC＝OA＝OB＝，BD＝＝＝4＝2AD，

∵∠ACD＝∠ABD，

∴tan∠ACD＝tan∠ABD＝＝；

∵∠PFC＝∠ADB＝90°，

∴△PCF∽△ABD，

∴＝，

即＝，

解得：PF＝，

∵OF＝＝3，

∴OP＝OF﹣PF＝；

（3）解：如图3所示：

∵△ABC是等腰直角三角形，OA＝OB，

∴OC⊥AB，

∴∠COG＝90°＝∠DEC，

∵∠G＝∠G，

∴△OCG∽△EAG，

∴＝＝，

即＝＝，

解得：BG＝，CG＝5，

故答案为：．