Question

15．如图，⊙O沿直线l滚动．已知⊙O的半径是0.4m，AB是⊙O的一条直径，当⊙O沿地面滚动时，点A，B到l的距离之和是否改变？若改变，请说明理由；若不改变，请求出点A，B到l的距离之和．

Answer 1

分析 当AB与l不平行时，分别过点A和点B作直线l的垂线，AC+BD即为所求的距离之和，连接OE，根据切线性质得到OE垂直于直线l，进而得到四边形ABDC为梯形，根据梯形中位线定理和直径AB的长度即可求出距离之和；当AB与l平行时，显然距离之和等于直径AB的长．

解答 解：点A，B到l的距离之和不改变，∵⊙O的半径是0.4m，∴AB=0.8m，如图所示，设直线l与圆的切点为E，
过A作AC⊥l，垂足为C，过B作BD⊥l，垂足为D，连接OE，则OE⊥l，
当AB不平行l时，四边形ABDC为梯形，又O为AB的中点，∴OE为梯形的中位线，
∴OE=$\frac{1}{2}$（AC+BD），即AC+BD=2OE=AB=0.8m，
当AB∥l时，四边形ABDC为矩形，AC+BD=AB=0.8m，
综上，点A、B到直线l的距离之和为0.8m．

点评 此题考查了切线的性质以及梯形中位线的性质，考查了数形结合及分类讨论的数学思想，是一道中档题．以后做题注意已知切线连接圆心与切点是经常连接的辅助线．