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【题目】如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于点A(﹣3,m+8),B(n,﹣6)两点.
(1)求一次函数与反比例函数的解析式;
(2)求△AOB的面积.
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【题目】“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目,其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成,运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离.某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题,请你解答.
如图所示,底座上A,B两点间的距离为90cm.低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm,高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm,已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°,高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为80.3°.求高、低杠间的水平距离CH的长.(结果精确到1cm,参考数据sin82.4°≈0.991,cos82.4°≈0.132,tan82.4°≈7.500,sin80.3°≈0.983,cos80.3°≈0.168,tan80.3°≈5.850)
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动,点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动,如果P、Q同时出发,用t(s)表示移动的时间(0≤t≤6),那么:
(1)当t为何值时,△QAP是等腰直角三角形?
(2)当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似?
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【题目】如图,OF是∠MON的平分线,点A在射线OM上,P,Q是直线ON上的两动点,点Q在点P的右侧,且PQ=OA,作线段OQ的垂直平分线,分别交直线OF、ON交于点B、点C,连接AB、PB.
(1)如图1,当P、Q两点都在射线ON上时,请直接写出线段AB与PB的数量关系;
(2)如图2,当P、Q两点都在射线ON的反向延长线上时,线段AB,PB是否还存在(1)中的数量关系?若存在,请写出证明过程;若不存在,请说明理由;
(3)如图3,∠MON=60°,连接AP,设=k,当P和Q两点都在射线ON上移动时,k是否存在最小值?若存在,请直接写出k的最小值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)AB=PB;(2)存在;(3)k=0.5.
【解析】试题分析:(1)结论:AB=PB.连接BQ,只要证明△AOB≌△PQB即可解决问题;
(2)存在.证明方法类似(1);
(3)连接BQ.只要证明△ABP∽△OBQ,即可推出=,由∠AOB=30°,推出当BA⊥OM时, 的值最小,最小值为0.5,由此即可解决问题;
试题解析:解:(1)连接:AB=PB.理由:如图1中,连接BQ.
∵BC垂直平分OQ,∴BO=BQ,∴∠BOQ=∠BQO,∵OF平分∠MON,∴∠AOB=∠BQO,∵OA=PQ,∴△AOB≌△PQB,∴AB=PB.
(2)存在,理由:如图2中,连接BQ.
∵BC垂直平分OQ,∴BO=BQ,∴∠BOQ=∠BQO,∵OF平分∠MON,∠BOQ=∠FON,∴∠AOF=∠FON=∠BQC,∴∠BQP=∠AOB,∵OA=PQ,∴△AOB≌△PQB,∴AB=PB.
(3)连接BQ.
易证△ABO≌△PBQ,∴∠OAB=∠BPQ,AB=PB,∵∠OPB+∠BPQ=180°,∴∠OAB+∠OPB=180°,∠AOP+∠ABP=180°,∵∠MON=60°,∴∠ABP=120°,∵BA=BP,∴∠BAP=∠BPA=30°,∵BO=BQ,∴∠BOQ=∠BQO=30°,∴△ABP∽△OBQ,∴ =,∵∠AOB=30°,∴当BA⊥OM时, 的值最小,最小值为0.5,∴k=0.5.
点睛:本题考查相似综合题、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,学会用转化的思想思考问题,属于中考常考题型.
【题型】解答题
【结束】
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【题目】如图,已知抛物线y=ax2+x+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于丁C,且A(2,0),C(0,﹣4),直线l:y=﹣x﹣4与x轴交于点D,点P是抛物线y=ax2+x+c上的一动点,过点P作PE⊥x轴,垂足为E,交直线l于点F.
(1)试求该抛物线表达式;
(2)如图(1),若点P在第三象限,四边形PCOF是平行四边形,求P点的坐标;
(3)如图(2),过点P作PH⊥y轴,垂足为H,连接AC.
①求证:△ACD是直角三角形;
②试问当P点横坐标为何值时,使得以点P、C、H为顶点的三角形与△ACD相似?
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边OA,OC分别在x轴和y轴上,并且OA=5,OC=3.若把矩形OABC绕着点O逆时针旋转,使点A恰好落在BC边上的A1处,则点C的对应点C1的坐标为_____.
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【题目】如图,若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴为x=1,与y轴交于点C,与x轴交于点A、点B(﹣1,0),则
①二次函数的最大值为a+b+c;
②a﹣b+c<0;
③b2﹣4ac<0;
④当y>0时,﹣1<x<3,其中正确的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点M(﹣2,),顶点坐标为N(﹣1,),且与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P为直线y=﹣1上的动点,Q是抛物线线上的动点,若以A,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的坐标;
(3)在直线AC上是否存在一点Q,使△QBM的周长最小?若存在,求出Q点坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知二次函数y=﹣x2+2x+m.
(1)如果二次函数的图象与x轴有两个交点,求m的取值范围;
(2)如图,二次函数的图象过点A(3,0),交y轴于B,D是顶点,求△ABD的面积.
(3)在(2)的条件下,根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围.
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【题目】阅读下列材料,并用相关的思想方法解决问题.材料:为解方程x4﹣x2﹣6=0可将方程变形为(x2)2﹣x2﹣6=0然后设x2=y,则(x2)2=y2,原方程化为y2﹣y﹣6=0…①
解得y1=﹣2,y2=3,当y1=﹣2时,x2=﹣2无意义,舍去;
当y2=3时,x2=﹣3,解得x=±;
所以原方程的解为x1=,x2=﹣;
问题:(1)在原方程得到方程①的过程中,利用 法达到了降次的目的,体现了 的数学思想;
(2)利用以上学习到的方法解下列方程(x2+5x+1)(x2+5x+7)=7.
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