【题目】如图，点P是半圆弧上一动点，连接AP，作∠APC=45°，交弦AB于点C．AB=6cm．小元根据学习函数的经验，分别对线段AP，PC，AC的长度进行了测量．下面是小元的探究过程，请补充完整：

（1）下表是点P是上的不同位置，画图、测量，得到线段AP，PC，AC长度的几组值，如下表：

①经测量m的值是（保留一位小数）．

②在AP，PC，AC的长度这三个量中，确定 的长度是自变量， 的长度和的长度都是这个自变量的函数；

（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数图象；

（3）结合函数图象，解决问题：当△ACP为等腰三角形时，AP的长度约为 cm（保留一位小数）．

（1）求证：EF是△ABC外接圆的切线；

（2）若BC=5，sin∠ABC=，求EF的长．

【题目】如图，AB是⊙O的直径， BC交⊙O于点D，E是的中点，连接AE交BC于点F，∠ACB =2∠EAB．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）若，，求BF的长．

已知：⊙O及⊙O外一点P．

求作：直线PA和直线PB，使PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B．

作法：如图，

①连接OP，分别以点O和点P为圆心，大于OP的同样长为半径作弧，两弧分别交于点M，N；

②连接MN，交OP于点Q，再以点Q为圆心，OQ的长为半径作弧，交⊙O于点A和点B；

③作直线PA和直线PB.

所以直线PA和PB就是所求作的直线.

根据小东设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明.

证明：∵OP是⊙Q的直径，

∴ ∠OAP＝∠OBP＝________°（ ）（填推理的依据）．

∴PA⊥OA，PB⊥OB．

∵OA，OB为⊙O的半径，

∴PA，PB是⊙O的切线．

【题目】如图，曲线AB是抛物线的一部分（其中A是抛物线与y轴的交点，B是顶点），曲线BC是双曲线的一部分.曲线AB与BC组成图形W由点C开始不断重复图形W形成一组“波浪线”.若点，在该“波浪线”上，则m的值为________，n的最大值为________.

【题目】如图，矩形中，，，E是边的中点，点P在边上，设，若以点D为圆心，为半径的与线段只有一个公共点，则所有满足条件的x的取值范围是______．

（1）若P是BC上的一个动点，当PA=DF时，求此时∠PAB的度数；

（2）将图①中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°，点C落在BF上，AC与BD交于点O，连接CD，如图②．

①探求△CDO的形状，并说明理由；

②在图①中，若P是BC的中点，连接FP，将等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转，当旋转角α= 时，FP长度最大，最大值为 （直接写出答案即可）．

（1）请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；

（2）你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗？试试看；

（3）开动脑筋想一想，相信你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式．

（1）求∠BPQ的度数；

（2）求该电线杆PQ的高度（结果精确到1m）．备用数据：，

已知一次函数y＝﹣x+3的图象与x、y轴分别交于点M、N，且A、C为线段MN的三等分点（点A在点C的左边）．

（1）直接写出点A、C的坐标；

（2）①二次函数的图象恰好经过点O、A、C，试求此二次函数的解析式；

②过点A、C分别作AB、CD垂直x轴于B、D两点，在此抛物线O、C之间取一点P（点P不与O、C重合）作PF⊥x轴于点F，PF交OC于点E，是否存在点P使得AP＝BE？若存在，求出点P的坐标？若不存在，试说明理由；

（3）在（2）的条件下，将△OAB沿AC方向移动到△O'A'B'（点A'在线段AC上，且不与C重合），△O'A'B'与△OCD重叠部分的面积为S，试求当S＝时点A'的坐标．