数学课上，老师出示了这样一道题:

如图，△ABC中，D为BC中点，且AD=AC,M为AD中点，连结CM并延长交AB于N.

探究线段AN、MN、CN之间的数量关系，并证明.

同学们经过思考后，交流了自已的想法:

小明：“通过观察和度量，发现线段AN、AB之间存在某种数量关系.”

小强：“通过倍长不同的中线，可以得到不同的结论，但都是正确的，大家就大胆的探究吧.”

小伟：“通过构造、证明相似三角形、全等三角形，就可以将问题解决.”

......

老师: “若其他条件不变，设AB=a,则可以用含a的式子表示出线段CM的长.”

（1）探究线段AN、AB之间的数量关系，并证明;

（2）探究线段AN、MN、CN之间的数量关系，并证明;

（3）设AB=a,求线段CM的长（用含a的式子表示）.

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P从点A出发，沿折线AB﹣BO向终点O运动，在AB上以每秒5个单位长度的速度运动，在BO上以每秒3个单位长度的速度运动;点Q从点O出发，沿OA方向以每秒个单位长度的速度运动.P，Q两点同时出发，当点P停止时，点Q也随之停止.过点P作PE⊥AO于点E，以PE，EQ为邻边作矩形PEQF，设矩形PEQF与△ABO重叠部分图形的面积为S,点P运动的时间为t秒.

(1)连结PQ，当PQ与△ABO的一边平行时，求t的值;

(2)求S与t之间的函数关系式,并直接写出自变量t的取值范围.

（1）求证：PA是⊙O的切线;

（2）若tan∠BAD=， 且OC=4，求PB的长.

（1）求抛物线的解析式及顶点A的坐标;

（2）将原抛物线沿射线OA方向进行平移得到新的抛物线，新抛物线与射线OA交于C，D两点，如图，请问：在抛物线平移的过程中，线段CD的长度是否为定值？若是，请求出这个定值;若不是，请说明理由.

(1) 画出△ABC关于点O的中心对称图形△A1B1C1

(2) 画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°的△A2B2C2，直接写出点C2的坐标为______.

(3) 若△ABC内一点P(m，n)绕原点O逆时针旋转90°的对应点为Q，则Q的坐标为______.

（1）求 A、B 两点的坐标；

（2）设 OMN 的面积为 S，直线 l 运动时间为 t 秒（0 ≤t ≤6 ），试求 S 与 t 的函数表达 式；

（3）在题（2）的条件下，t 为何值时，S 的面积最大？最大面积是多少．

①抛物线 y = ax 2 2x + 3（a ≠0) ，不论 a 为何值时，它的顶点都在某条直线上；

②抛物线 y = ax 2 2x + 3（a ≠0)，其顶点的横坐标减少，纵坐标增加得到A点，若把顶点的横坐标增加，纵坐标增加，得到B点，则A，B两点一定在抛物线y = ax 2 2x + 3上．

（1）请你帮忙求出抛物线 y = ax 2 2x + 3的顶点所在直线的解析式，并证明结论②是正确的；

（2）问题（1）中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点，你能找出它来吗，并说明理由；

（3）你能把结论①或②（选择其中之一）推广到一般情况吗，请用数学语言表述你的成 果，并给予严格的证明．