【题目】如图，在菱形中，对角线和交于点，分别过点、作，，与交于点．

（1）求证：四边形是矩形；

（2）当，时，求的正切值．

在数学课上，老师提出如下问题：

如图，已知，，用尺规作图的方法在上取一点，使得.

作法：

（1）作线段的垂直平分线.

（2）直线交于点.

则点就是所求的点.

证明：连接

直线垂直平分线段

(填写正确的依据)

.

解决下列问题：

（1）利用尺规作图确定 点的位置；

（2）补全证明过程中的依据；

（3）如果题干无条件，在线段上点不一定存在，在请画图说明．

【题目】如图，点为正六边形对角线的交点，机器人置于该正六边形的某顶点处.柱柱同学操控机器人以每秒个单位长度的速度在图 1 中给出的线段路径上运行，柱柱同学将机器人运行时间设为秒，机器人到点距离设为，得到函数图象如图 2.通过观察函数图象，可以得到下列推断：①该正六边形的边长为；②当时，机器人一定位于点；③机器人一定经过点；④机器人一定经过点；其中正确的有_____．

【题目】为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药，12周后，记录了两组患者的生理指标和的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者；

同时记录了服药患者在4周、8周、12周后的指标z的改善情况，并绘制成条形统计图．

根据以上信息，回答下列问题：

（1）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标的值大于1.7的概率；

（2）设这100名患者中服药者指标数据的方差为，未服药者指标数据的方差为，则 ；（填“>”、“=”或“<” ）

（3）对于指标z的改善情况，下列推断合理的是 ．

①服药4周后，超过一半的患者指标z没有改善，说明此药对指标z没有太大作用；

②在服药的12周内，随着服药时间的增长，对指标z的改善效果越来越明显．

【题目】在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点．

（1）求点的坐标（用含的式子表示）；

（2）求抛物线与轴的交点坐标；

（3）已知点，，如果抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围．

【题目】在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与直线交于点

（1）求k的值；

（2）已知点，过点P作垂直于x轴的直线，交直线于点B，交函数于点C．

①当时，判断线段与的数量关系，并说明理由；

②若，结合图象，直接写出n的取值范围．

小东同学发现：在点P由A运动到B的过程中，对于x1＝AP的每一个确定的值，θ＝∠QMP都有唯一确定的值与其对应，x1与θ的对应关系如表所示：

小芸同学在读书时，发现了另外一个函数：对于自变量x2在﹣2≤x2≤2范围内的每一个值，都有唯一确定的角度θ与之对应，x2与θ的对应关系如图2所示：

根据以上材料，回答问题：

（1）表格中α的值为　 　．

（2）如果令表格中x1所对应的θ的值与图2中x2所对应的θ的值相等，可以在两个变量x1与x2之间建立函数关系．

①在这个函数关系中，自变量是　 ，因变量是　 ；（分别填入x1和x2）

②请在网格中建立平面直角坐标系，并画出这个函数的图象；

③根据画出的函数图象，当AP＝3.5时，x2的值约为　 ．

【题目】生活垃圾分类回收是实现垃圾减量化和资源化的重要途径和手段．为了解2019年某市第二季度日均可回收物回收量情况，随机抽取该市2019年第二季度的天数据，整理后绘制成统计表进行分析．

表中组的频率满足．

下面有四个推断：

①表中的值为20；

②表中的值可以为7；

③这天的日均可回收物回收量的中位数在组；

④这天的日均可回收物回收量的平均数不低于3．

所有合理推断的序号是（ ）

A.①②B.①③C.②③④D.①③④

根据图表中提供的信息回答下列问题：

（1）统计表中的a＝________，b＝________；

（2）“陶艺制作”对应扇形的圆心角度数为________；

（3）若该校有学生2000人，请估算全校喜爱“智能机器人”的人数有多少？

（1）求证：EF是⊙O的切线；

（2）若AD＝1，求BC的长；

（3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积．