【题目】设椭圆的左、右焦点分别为,,上顶点为,过点与垂直的直线交轴负半轴于点,且,过,三点的圆恰好与直线相切.
求椭圆的方程;
过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于两点,问在轴上是否存在点,使得以为邻边的平行四边形是菱形?如果存在,求出的取值范围;如果不存在,说明理由.
【答案】(1) ;(2)存在, .
【解析】
设点的坐标为,且,利用以及得出点的坐标,利用外接圆圆心到该直线的距离等于半径,可求出的值,进而得出与的值,从而得出椭圆的方程;令,得出,设点、,将直线l的方程与椭圆的方程联立,利用韦达定理,求出线段的中点的坐标,将条件“以为邻边的平行四边形是菱形”转化为,得出这两条直线的斜率之积为,然后得出的表达式,利用不等式的性质可求出实数的取值范围.
设椭圆C的焦距为,则点的坐标为,点的坐标为,设点Q的坐标为,且,
如下图所示,
,,
,则,所以,,则点Q的坐标为,
直线与直线AQ垂直,且点,所以,,,
由,得,则,.
为直角三角形,且为斜边,
线段的中点为,的外接圆半径为2c.
由题意可知,点到直线的距离为,
所以,,,,
因此,椭圆C的方程为.
由题意知,直线的斜率,并设,则直线l的方程为,
设点、
将直线的方程与椭圆C的方程联立,
消去x得,
由韦达定理得,.
,.
所以,线段MN的中点为点.
由于以PM,PN为邻边的平行四边形是菱形,则,则,所以,.
由两点连线的斜率公式可得,得.
由于,则,所以,,所以,.
因此,在x轴上存在点,使得以PM,PN为邻边的平行四边形是菱形,
且实数m的取值范围是.
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【题目】某人事部门对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计,绘制的频率分布直方图如图所示.规定80分以上者晋级成功,否则晋级失败(满分为100分).
(1)求图中的值;
(2)估计该次考试的平均分 (同一组中的数据用该组的区间中点值代表);
(3)根据已知条件完成下面2×2列联表,并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关.
晋级成功 | 晋级失败 | 合计 | |
男 | 16 | ||
女 | 50 | ||
合计 |
参考公式:,其中
0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | |
0.780 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
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【题目】某人设计一项单人游戏,规则如下:先将一棋子放在如图所示正方形(边长为2个单位)的顶点处,然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位,如果掷出的点数为,则棋子就按逆时针方向行走个单位,一直循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点处的所有不同走法共有( )
A. 22种 B. 24种 C. 25种 D. 27种
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【题目】男运动员6名,女运动员4名,其中男女队长各1名.选派5人外出比赛,在下列情形中各有多少种选派方法?
(1)男运动员3名,女运动员2名;
(2)至少有1名女运动员;
(3)队长中至少有1人参加;
(4)既要有队长,又要有女运动员.
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【题目】给定下列四个命题
若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;
若一条直线和两个互相垂直的平面中的一个平面垂直,那么这条直线一定平行于另一个平面;
若一条直线和两个平行平面中的一个平面垂直,那么这条直线也和一个平面垂直;
若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直,
其中,真命题的个数是
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】已知函数f(x)=|3x+2|.
(1)解不等式f(x)<4-|x-1|;
(2)已知m+n=1(m,n>0),若|x-a|-f(x)≤(a>0)恒成立,求实数a的取值范围.
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