Question

16．设函数f（x）=|2x-1|-|x+1|．
（1）求不等式f（x）≤0的解集；
（2）若f（x）＞a-2|x+1|恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）对x讨论，分当x＜-1时，当-1≤x≤$\frac{1}{2}$时，当x＞$\frac{1}{2}$时，去掉绝对值，解不等式，最后求并集即可；
（2）由题意可得|2x-1|+|x+1|＞a恒成立，令g（x）=|2x-1|+|x+1|，对x讨论，分当x＜-1时，当-1≤x≤$\frac{1}{2}$时，当x＞$\frac{1}{2}$时，去掉绝对值，运用单调性可得最小值，即可得到a的范围．

解答 解：（1）当x＜-1时，1-2x-（-x-1）≤0，即x≥2，可得x∈∅；
当-1≤x≤$\frac{1}{2}$时，1-2x-（x+1）≤0，即x≥0，可得0≤x≤$\frac{1}{2}$；
当x＞$\frac{1}{2}$时，2x-1-（x+1）≤0，即x≤2，可得$\frac{1}{2}$＜x≤2．
综上可得，原不等式的解集为[0，2]；
（2）f（x）＞a-2|x+1|恒成立，即为|2x-1|+|x+1|＞a恒成立，
令g（x）=|2x-1|+|x+1|，
当x＜-1时，g（x）=1-2x+（-x-1）=-3x，可得g（x）＞3；
当-1≤x≤$\frac{1}{2}$时，g（x）=1-2x+（x+1）=2-x，可得g（x）∈[$\frac{3}{2}$，3]；
当x＞$\frac{1}{2}$时，g（x）=2x-1+（x+1）=3x，可得g（x）＞$\frac{3}{2}$．
则g（x）的最小值为$\frac{3}{2}$．
即有a＜$\frac{3}{2}$，
则实数a的取值范围是（-∞，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论的思想方法，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和函数的单调性，属于中档题．