Question

过点Q(－2，)作圆O：x²＋y²＝r²(r>0)的切线，切点为D，且|QD|＝4.

(1)求r的值；

(2)设P是圆O上位于第一象限内的任意一点，过点P作圆O的切线l，且l交x轴于点A，交y轴于点B，设，求||的最小值(O为坐标原点)．

Answer 1

(1)圆O：x²＋y²＝r²(r>0)的圆心为O(0,0)，

于是|QO|²＝(－2)²＋()²＝25.

由题设知，△QDO是以D为直角顶点的直角三角形，故有r＝|OD|＝＝＝3.

(2)设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，

即bx＋ay－ab＝0，则A(a,0)，B(0，b)，∴＝(a，b)，

∴||＝∵直线l与圆O相切，

∴a²＋b²≥36，∴||≥6.

当且仅当a＝b＝3时取到“＝”．

∴||取得最小值为6.