Question

已知直线l：y＝x＋，圆O：x²＋y²＝5，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等．

(1)求椭圆E的方程；

(2)过圆O上任意一点P作椭圆E的两条切线，若切线都存在斜率，求证：两切线斜率之积为定值．

 

Answer 1

解　(1)设椭圆半焦距为c，

圆心O到l的距离d＝＝，

所以b＝＝.

由题意得又b＝，∴a²＝3，b²＝2.

∴椭圆E的方程为＋＝1.

(2)证明：设点P(x₀，y₀)，过点P的椭圆E的切线l₀的方程为y－y₀＝k(x－x₀)，

联立直线l₀与椭圆E的方程得

把y＝kx＋(y₀－kx₀)代入＋＝1，消去y得

(3＋2k²)x²＋4k(y₀－kx₀)x＋2(kx₀－y₀)²－6＝0，∵l₀与椭圆E相切．

∴Δ＝[4k(y₀－kx₀)]²－4(3＋2k²)[2(kx₀－y₀)²－6]＝0，整理得(2－x)k²＋2kx₀y₀－(y－3)＝0，

设满足题意的椭圆E的两条切线的斜率分别为k₁，k₂，则k₁·k₂＝－

∵点P在圆O上，∴x＋y＝5，

∴k₁·k₂＝－＝－1.

∴两条切线斜率之积为常数－1.