Question

已知函数f（x-1）是偶函数，且x＜-1时，f′（x）＞0恒成立，又f（2）=0，则（x+1）f（x+2）＜0的解集为（　　）

• A、（-∞，-2）∪（4，+∞）
• B、（-6，-1）∪（0，4）
• C、（-6，-1）∪（0，+∞）
• D、（-∞，-6）∪（4，+∞）

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由已知函数f（x-1）是偶函数，可得函数f（x）的图象关于直线x=-1对称，由x＜-1时，f′（x）＞0恒成立，可得函数f（x）在（-∞，-1）上为增函数，结合f（2）=0，可分析出在不同区间上（x+1）与f（x+2）的符号，求出两者异号的范围，可得答案．

解答： 解：∵函数f（x-1）是偶函数，
故函数f（x）的图象关于直线x=-1对称，
由x＜-1时，f′（x）＞0恒成立，可得函数f（x）在（-∞，-1）上为增函数，
由f（2）=0，可得：f（-4）=0，
当x∈（-∞，-6）时，f（x+2）＜0；
当x∈（-6，-3）时，f（x+2）＞0；
当x∈（-3，0）时，f（x+2）＞0；
当x∈（0，+∞）时，f（x+2）＜0；
又∵当x∈（-∞，-1）时，x+1＜0；
当x∈（-1，+∞）时，x+1＞0；
故当x∈（-6，-1）∪（0，+∞）时，（x+1）f（x+2）＜0，
故选：C

点评：本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，函数图象的平移变换，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．