Question

已知椭圆

x2

20

+

y2

8

=1的两个焦点为F₁、F₂，点P在此椭圆上，且PF₁⊥PF₂，则△PF₁F₂的面积为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据椭圆的定义和勾股定理建立关于m、n的方程组，平方相减即可求出|PF₁|•|PF₂|=16，结合直角三角形的面积公式，可得△PF₁F₂的面积S=

1

2

|PF₁|•|PF₂|，得到本题答案．

解答： 解：∵椭圆方程为圆

x2

20

+

y2

8

=1，
∴a²=20，b²=8，可得c²=a²-b²=12，即a=2

5

，c=2

3

设|PF₁|=m，|PF₂|=n，
∵PF₁⊥PF₂，得∠F₁PF₂=90°
则有

m+n=2a=4 5 m2+n2=(2c)2=48

，
即（m+m）²=m²+n²+2mn，
则80=48+2mn
得2mn=32，即mn=16，
∴|PF₁|•|PF₂|=16．
∴△PF₁F₂的面积S=

1

2

|PF₁|•|PF₂|=

1

2

×16=8．
故答案为：8

点评：本题给出椭圆的焦点三角形为直角三角形，求它的面积，着重考查了勾股定理、椭圆的定义和简单几何性质等知识．