Question

20．已知不恒为零的函数f（x）=xlog₂（ax+$\sqrt{a{x^2}+b}$）是偶函数．
（1）求a，b的值；
（2）求不等式$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$f（x-2）＜log₂（2+$\sqrt{3}$）的解集．

Answer 1

分析 （1）根据偶函数的定义得xlog₂（ax+$\sqrt{a{x^2}+b}$）=-xlog₂（-ax+$\sqrt{a{x^2}+b}$）；
（2）把不等式$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$f（x-2）＜log₂（2+$\sqrt{3}$）转化为f（x-2）＜$\sqrt{3}$log₂（2+$\sqrt{3}$）=f（$\sqrt{3}$），得f（|x-2|）＜f（$\sqrt{3}$），即|x-2|＜$\sqrt{3}$解得即可．

解答 解：（Ⅰ）由已知得xlog₂（ax+$\sqrt{a{x^2}+b}$）=-xlog₂（-ax+$\sqrt{a{x^2}+b}$），即xlog₂（ax+$\sqrt{a{x^2}+b}$）=0
∴$\left\{\begin{array}{l}{a={a}^{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{b=1}\end{array}\right.$（舍去）或$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
当a=1，b=1时，满足f（x）是偶函数，故a=1，b=1．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=xlog₂（x+$\sqrt{{x^2}+1}$），
显然在x∈（0，+∞）上f（x）是增函数，
$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$f（x-2）＜log₂（2+$\sqrt{3}$）?f（x-2）＜$\sqrt{3}$log₂（2+$\sqrt{3}$）=f（$\sqrt{3}$），
∵f（-x）=f（x）=f（|x|），
∴f（|x-2|）＜f（$\sqrt{3}$），|x-2|＜$\sqrt{3}$，
∴x∈（2-$\sqrt{3}$，2+$\sqrt{3}$）．（12分）

点评 本题主要考查函数的奇偶性和不等式，属于中等题．