Question

在数列{a_n}中，a1=-

1

2

，2a_n=a_n-1-n-1（n≥2，n∈N^*），设b_n=a_n+n．
（Ⅰ）证明：数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{nb_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）若cn=(

1

2

)n-an，P_n为数列{

cn2+cn+1

cn2+cn

}的前n项和，求不超过P₂₀₁₄的最大的整数．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定,数列与不等式的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由2a_n=a_n-1-n-1两边加2n得，2（a_n+n）=a_n-1+n-1，根据等比数列的定义可得结论；
（Ⅱ）表示出nb_n，利用错位相减法可求得T_n；
（Ⅲ）求出a_n，c_n，进而可得

cn2+cn+1

cn2+cn

，利用裂项相消法求得P₂₀₁₄，由此可得答案；

解答： （Ⅰ）证明：由2a_n=a_n-1-n-1两边加2n得，2（a_n+n）=a_n-1+n-1，
∴

an+n

an-1+(n-1)

=

1

2

，即

bn

bn-1

=

1

2

，
∴数列{b_n}是公比为2的等比数列，
其首项为b1=a1+1=-

1

2

+1=

1

2

，bn=(

1

2

)n；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，nbn=n•(

1

2

)n=

n

2n

，
则Tn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+

4

24

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

①，

1

2

Tn=

1

22

+

2

23

+

3

24

+

4

25

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

②，
①-②得

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

，
∴Tn=2-

n+2

2n

；
（Ⅲ）解：由（Ⅰ）得an=(

1

2

)n-n，
∴c_n=n，

cn2+cn+1

cn2+cn

=

n2+n+1

n2+n

=1+

1

n(n+1)

=1+

1

n

-

1

n+1

，
P2014=(1+

1

1

-

1

2

)+(1+

1

2

-

1

3

)+(1+

1

3

-

1

4

)+…+(1+

1

2014

-

1

2015

)=2015-

1

2015

，
∴不超过P₂₀₁₄的最大的整数是2014．

点评：本题考查由数列递推式求数列通项、等比关系的确定、数列求和等知识，裂项相消法、错位相减法对数列求和是高考考查的重点内容，要熟练掌握．