Question

对于函数f（x）=e^x定义域中的任意的x₁，x₂（x₁≠x₂），有如下结论：
（1）f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂）；    
（2）f（x₁+x₂）=f（x₁）f（x₂）；
（3）

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0；       
 (4)

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0；
（5）f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

．
上述结论中正确的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：根据指数函数f（x）=e^x的运算性质，可以判定结论（1）错误，结论（2）正确；
又根据指数函数f（x）=e^x的图象与性质，可以判定结论（3）错误，结论（4）正确；
又根据指数函数的值大于0，指数的运算性质以及基本不等式，可以判定结论（5）正确．

解答： 解：∵对于函数f（x）=e^x定义域中的任意的x₁，x₂（x₁≠x₂），
有f（x₁x₂）=ex1x2，f（x₁）+f（x₂）=ex1+ex2，
∴f（x₁x₂）≠f（x₁）+f（x₂），
∴结论（1）错误；
又f（x₁+x₂）=ex1+x2=ex1•ex2=f（x₁）f（x₂），
∴结论（2）正确；
又f（x）=e^x是定义域R上的增函数，
∴对任意的x₁，x₂，不妨设x₁＜x₂，则f（x₁）＜f（x₂），
∴x₁-x₂＜0，f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，
∴结论（3）错误，结论（4）正确；
又f（

x1+x2

2

）=e

x1+x2

2

，

f(x1)+f(x2)

2

=

ex1+ex2

2

；
∴

f(x1)+f(x2) 2

f( x1+x2 2 )

=

1

2

（

ex1

e x1+x2 2

+

ex2

e x1+x2 2

）
=

1

2

（e

x1

2

-

x2

2

+e

x2

2

-

x1

2

），
∵x₁≠x₂，
∴e

x1

2

-

x2

2

+e

x2

2

-

x1

2

＞2，
∴

f(x1)+f(x2) 2

f( x1+x2 2 )

＞1，
∴f（

x1+x2

2

）＜

f(x1)+f(x2)

2

；
∴结论（5）正确；
综上，正确的结论是（2），（4），（5）；
故答案为：（2），（4），（5）．

点评：本题考查了指数函数的图象与性质、指数的运算性质以及基本不等式的应用问题，解题的关键是熟练掌握这些基础知识并能灵活运用．