Question

14．将一根长4m的木条锯成两段，分别作为钝角△ABC的两边AB和BC，且∠ABC=120°，则使2$\sqrt{3}$m≤AC≤$\sqrt{13}$m的概率是$\frac{\sqrt{13}-2\sqrt{3}}{4-2\sqrt{3}}$．

Answer 1

分析 根据题意设AB=xcm，则BC=（30-x）cm，利用余弦定理列出关系式，利用二次函数性质即可得到AC取得最小值时x的值，得到满足题意的锯法

解答 解：设AB=xcm，则BC=（4-x）cm，∠ABC=120°，
由余弦定理得：AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos∠ABC=x²+（4-x）²+x（4-x）=（x-2）²+12，x∈（0，4），
所以AC∈[2$\sqrt{3}$，4]，
所以使2$\sqrt{3}$m≤AC≤$\sqrt{13}$m的概率是：$\frac{\sqrt{13}-2\sqrt{3}}{4-2\sqrt{3}}$；
故答案为：$\frac{\sqrt{13}-2\sqrt{3}}{4-2\sqrt{3}}$．

点评 此题考查了余弦定理，以及二次函数的性质，以及几何概型的概率求法；熟练掌握余弦定理是解本题的关键．