Question

设直线x＝t与函数f(x)＝x²＋1，g(x)＝x＋ln x的图象分别交于P，Q两点，则|PQ|的最小值是(　　)

A．－     B.  C．1     D．－或1

Answer 1

C

[解析]　直线x＝t与函数f(x)＝x²＋1，g(x)＝x＋ln x的图象分别交于P(t，f(t))，Q(t，g(t))两点，则|PQ|＝|f(t)－g(t)|.

记h(t)＝f(t)－g(t)＝t²＋1－(t＋ln t)．

函数h(t)的定义域为(0，＋∞)，h′(t)＝2t－1－＝(2t²－t－1)＝(2t＋1)(t－1)．

由h′(t)＝0，解得t＝1或t＝－(舍去)．

显然当t∈(0,1)时，h′(t)<0，函数h(t)单调递减；当t∈(1，＋∞)时，h′(t)>0，函数h(t)单调递增．

故函数h(t)的最小值为h(1)＝1²＋1－(1＋ln 1)＝1，故|PQ|的最小值为1.