Question

已知实数m，n满足：关于x的不等式|x²+mx+n|≤|3x²-6x-9|的解集为R
（1）求m，n的值；
（2）若a，b，c∈R⁺，且a+b+c=m-n，求证：

a

+

b

+

c

≤

3

．

Answer 1

考点：不等式的证明,绝对值不等式的解法

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）若不等式|x²+mx+n|≤|3x²-6x-9|的解集为R，故3x²-6x-9=0时，x²+mx+n=0，进而由韦达定理得到答案；
（2）运用重要不等式a+b≥2

ab

，结合累加法和三个数的完全平方公式，即可得证．

解答： （1）解：∵不等式|x²+mx+n|≤|3x²-6x-9|的解集为R，
令3x²-6x-9=0，得x=-1，或x=3，
故x=-1，或x=3时，x²+mx+n=0，
则x=-1和x=3为方程x²+mx+n=0的两根，
故-1+3=2=-m，-1×3=-3=n，
解得：m=-2，n=-3，
当m=-2，n=-3时，不等式|x²+mx+n|≤|3x²-6x-9|即为
|x²-2x-3|≤3|x²-2x-3|，即有|x²-2x-3|≥0，则解集为R，
故m=-2，n=-3；
（2）证明：若a，b，c∈R⁺，且a+b+c=m-n=1，
由a+b≥2

ab

，b+c≥2

bc

，c+a≥2

ca

．
累加得，2a+2b+2c≥2

ab

+2

bc

+2

ca

，
两边同时加a+b+c，可得
3（a+b+c）≥a+b+c+2

ab

+2

bc

+2

ca

，
即有3（a+b+c）≥（

a

+

b

+

c

）²，
即

a

+

b

+

c

≤

3(a+b+c)

=

3

．（当且仅当a=b=c时取得等号）
则

a

+

b

+

c

≤

3

成立．

点评：本题考查不等式的解法和运用，主要考查不等式的恒成立转化为求函数的最值，同时考查二次方程的韦达定理的运用，运用均值不等式和累加法是证明不等式的关键．