Question

8．设数列{a_n}的各项为正数，且a₁，2²，a₂，2⁴，…，a_n，2²ⁿ，…成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记S_n为等比数列{a_n}的前n项和，若S_k≥30（2^k+1），求正整数k的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出数列{a_n}是首项为2，公比为4的等比数列，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）先求出等比数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{2}{3}（{4}^{n}-1）$，从而得到$\frac{2}{3}（{4}^{k}-1）$≥30（2^k+1），由此能求出正整数k的最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵列{a_n}的各项为正数，且a₁，2²，a₂，2⁴，…，a_n，2²ⁿ，…成等比数列，
∴${{a}_{2}}^{2}={2}^{2}•{2}^{4}={2}^{6}$，即a₂=8，
∴$\frac{{2}^{2}}{{a}_{1}}=\frac{8}{{2}^{2}}$，解得a₁=2，
∴数列{a_n}是首项为a₁=2，公比为q=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=4的等比数列，
∴${a}_{n}=2×{4}^{n-1}$．
（Ⅱ）∵数列{a_n}是首项为2，公比为4的等比数列，
∴等比数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{2（1-{4}^{n}）}{1-4}$=$\frac{2}{3}（{4}^{n}-1）$，
∵S_k≥30（2^k+1），∴$\frac{2}{3}（{4}^{k}-1）$≥30（2^k+1），
即2×（2^k）²-90×2^k-92≥0，
解得2^k≥46或2^k≤-1（舍），
∴正整数k的最小值为6．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的正整数的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．