Question

已知函数f(x)＝x2－1与函数g(x)＝aln x(a≠0)．

(1)若f(x)，g(x)的图像在点(1,0)处有公共的切线，求实数a的值；

(2)设F(x)＝f(x)－2g(x)，求函数F(x)的极值．

 

Answer 1

（1）a＝2. （2）见解析

【解析】【解析】
(1)因为f(1)＝0，g(1)＝0，

所以点(1,0)同时在函数f(x)，g(x)的图像上，

因为f(x)＝x2－1，g(x)＝aln x，

所以f′(x)＝2x，g′(x)＝，

由已知，得f′(1)＝g′(1)，所以2＝，即a＝2.

(2)因为F(x)＝f(x)－2g(x)＝x2－1－2aln x(x>0)，

所以F′(x)＝2x－＝，

当a<0时，

因为x>0，且x2－a>0，所以F′(x)>0对x>0恒成立，

所以F(x)在(0，＋∞)上单调递增，F(x)无极值；

当a>0时，

令F′(x)＝0，解得x1＝，x2＝－ (舍去)，

所以当x>0时，F′(x)，F(x)的变化情况如下表：

x	(0，)		(，＋∞)
F′(x)	－	0	＋
F(x)	递减	极小值	递增

 

所以当x＝时，F(x)取得极小值，且F()＝()2－1－2aln＝a－1－aln a.

综上，当a<0时，函数F(x)在(0，＋∞)上无极值；

当a>0时，函数F(x)在x＝处取得极小值a－1－aln a.