Question

已知函数f(x)＝x2－2acos kπ·ln x(k∈N*，a∈R，且a>0)．

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)若k＝2 04，关于x的方程f(x)＝2ax有唯一解，求a的值．

 

Answer 1

（1）当k是奇数时，f′(x)>0，则f(x)在(0，＋∞)上是增函数；

当k是偶数时，f(x)在(0，)上是单调减函数，在(，＋∞)上是单调增函数．

（2）

【解析】【解析】
(1)由已知得x>0

且f′(x)＝2x－(－1)k·.

当k是奇数时，f′(x)>0，

则f(x)在(0，＋∞)上是增函数；

当k是偶数时，

则f′(x)＝2x－＝.

所以当x∈(0，)时，f′(x)<0；

当x∈(，＋∞)时，f′(x)>0.

故当k是偶数时，f(x)在(0，)上是单调减函数，在(，＋∞)上是单调增函数．

(2)若k＝2 014，

则f(x)＝x2－2aln x(k∈N*)．

记g(x)＝f(x)－2ax＝x2－2aln x－2ax，

则g′(x)＝2x－－2a＝(x2－ax－a)．

则方程f(x)＝2ax有唯一解，即g(x)＝0有唯一解．

令g′(x)＝0，得x2－ax－a＝0.

因为a>0，x>0，

所以x1＝<0(舍去)，

x2＝.

当x∈(0，x2)时，g′(x)<0，g(x)在(0，x2)上是单调减函数；当x∈(x2，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)在(x2，＋∞)上是单调增函数．

当x＝x2时，g′(x2)＝0，g(x)min＝g(x2)．

因为g(x)＝0有唯一解，所以g(x2)＝0.则

，即

两式相减得2aln x2＋ax2－a＝0，

因为a>0，所以2ln x2＋x2－1＝0.(*)

设函数h(x)＝2lnx＋x－1.

因为当x>0时，h(x)是增函数，所以h(x)＝0至多有一个解．

因为h(1)＝0，所以方程(*)的解为x2＝1.

从而解得a＝.