Question

已知向量

m

=（cosx．-

3

），

n

=（sin（x+

π

3

），cos²x-

1

4

），函数f（x）=

m

•

n

．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知锐角A满足f（

A

2

+

π

6

）=

10

20

，且3acosC=2ccosA．求B．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,正弦定理

专题：计算题,三角函数的求值,三角函数的图像与性质,解三角形,平面向量及应用

分析：（1）运用向量的数量积的坐标表示和二倍角公式及两角和差的正弦公式，结合周期公式计算即得；
（2）由同角的平方和商数关系，结合正弦定理和两角和的正切公式，计算即可得到B．

解答： 解：（1）向量

m

=（cosx．-

3

），

n

=（sin（x+

π

3

），cos²x-

1

4

），
则函数f（x）=

m

•

n

=cosxsin（x+

π

3

）-

3

（cos²x-

1

4

）
=cosx（

1

2

sinx+

3

2

cosx）-

3

（cos²x-

1

4

）=

1

2

sinxcosx-

3

2

cos²x+

3

4

=

1

4

sin2x-

3

4

cos2x=

1

2

sin（2x-

π

3

），
则f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）锐角A满足f（

A

2

+

π

6

）=

10

20

，
则

1

2

sinA=

10

20

，即sinA=

10

10

，
cosA=

1- 1 10

=

3 10

10

，tanA=

sinA

cosA

=

1

3

，
3acosC=2ccosA，
即有3sinAcosC=2sinCcosA，
即3tanA=2tanC，
tanC=

3

2

×

1

3

=

1

2

，
则tanB=-tan（A+C）=-

tanA+tanC

1-tanAtanC

=-

1 3 + 1 2

1- 1 6

=-1，
由B为三角形的内角，则B=135°．

点评：本题考查向量的数量积的坐标表示和三角函数的恒等变换，考查正弦定理的运用，考查运算能力，属于基础题．