Question

19．等比数列{a_n}的公比为q，前n项积为T_n，且满足a₁＞1，a₂₀₁₅•a₂₀₁₆＞1，（a₂₀₁₅-1）（a₂₀₁₆-1）＜0，给出以下四个命题：①q＞1；②a₂₀₁₅•a₂₀₁₇＜1；③T₂₀₁₅为T_n的最大值；④使T_n＞1成立的最大的正整数4031，则其中正确的命题序号为②③．

Answer 1

分析 利用等比数列的性质可知a₂₀₁₅＞1，a₂₀₁₆＜1，得出q＜1，进而判断②③④即可．

解答 解：①等比数列{a_n}的公比为q，且满足a₁＞1，a₂₀₁₅•a₂₀₁₆＞1，（a₂₀₁₅-1）（a₂₀₁₆-1）＜0，
∴a₂₀₁₅＞1，a₂₀₁₆＜1，
∴q＜1，故错误；
②a₂₀₁₅•a₂₀₁₇=a₂₀₁₆×a₂₀₁₆＜1，故正确；
③a₂₀₁₅＞1，a₂₀₁₆＜1，a₁＞1，q＜1，
∴前n项积为T_n的最大值为T₂₀₁₅故正确；
④T₄₀₃₀=a₁•a₂…a₄₀₃₀=（a₁•a₄₀₃₀）（a₂•a₄₀₂₉）…（a₂₀₁₅•a₂₀₁₆）=（a₂₀₁₄•a₂₀₁₅）²⁰¹⁵＞1，
T₄₀₃₁=a₁•a₂…a₄₀₃₁=（a₁•a₄₀₃₁）（a₂•a₄₀₃₀）…（a₂₀₁₅•a₂₀₁₇）a₂₀₁₆＜1，
故成立的最大的正整数4030，故错误．
故答案为：②③．

点评 考查了等比数列的概念和性质．难点是对a_m•a_n=a_p•a_q的应用．