Question

8．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，-π＜φ＜0）在区间$[{\frac{π}{6}，\frac{π}{2}}]$上单调递增，且函数值从-2增大到0．若${x_1}_{\;}、{x_2}∈[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{2}}]$，且f（x₁）=f（x₂），则f（x₁+x₂）=（　　）

• A． $-\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $-\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由题意利用正弦函数的单调性和图象的对称性，求得f（x）的解析式，可得f（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{6}$对称，根据$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$=$\frac{π}{6}$，可得 x₁+x₂=$\frac{π}{3}$，由此求得f（x₁+x₂）的值．

解答 解：函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，-π＜φ＜0）在区间$[{\frac{π}{6}，\frac{π}{2}}]$上单调递增，且函数值从-2增大到0，
∴ω•$\frac{π}{6}$+φ=2kπ-$\frac{π}{2}$，ω•$\frac{π}{2}$+φ=2kπ，k∈Z，∴ω=$\frac{3}{2}$，∴φ=-$\frac{3π}{4}$，f（x）=2sin（$\frac{3}{2}$x-$\frac{3π}{4}$），且f（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{6}$对称．
若${x_1}_{\;}、{x_2}∈[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{2}}]$，且f（x₁）=f（x₂），则$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$=$\frac{π}{6}$，∴x₁+x₂=$\frac{π}{3}$，
则f（x₁+x₂）=f（$\frac{π}{3}$）=2sin（$\frac{3}{2}$•$\frac{π}{3}$-$\frac{3π}{4}$）=2sin（-$\frac{π}{4}$）=-$\sqrt{2}$，
故选：A．

点评 本题主要考查正弦函数的单调性和图象的对称性，属于中档题．