Question

3．已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）-1，x∈R．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）求函数f（x）在区间$[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数公式化简可得f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），解不等式2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$可解得函数f（x）的单调递减区间；
（2）由x∈$[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$结合三角函数可得最值．

解答 解：（1）由三角函数公式化简可得f（x）=2cosx（sinx+cosx）-1
=2sinxcosx+2cos²x-1=sin2x+cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$可解得kπ+$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{8}$，
∴函数f（x）的单调递减区间为：[kπ+$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{5π}{8}$]（k∈Z）；
（2）∵x∈$[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$，∴2x+$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
∴当2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$时，函数f（x）取最大值$\sqrt{2}$，
当2x+$\frac{π}{4}$=-$\frac{π}{4}$时，函数f（x）取最小值-1．

点评 本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及三角形的单调性和最值，属基础题．