Question

已知函数f（x）=x³-ax²+10，在区间[1，2]内至少存在一个实数x，使得f（x）＜0成立，则实数a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的极值

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：要使f（x）在区间[1，2]内至少有一个实数x，使得f（x）＜0，只需f（x）在[1，2]内的最小值小于0．利用f′（x）=3x²-2ax=x（3x-2a），且由f′（x）=0，知x₁=0，x₂=

2a

3

，故进行分类讨论：①当

2

3

a≤0即a≤0；②当0＜

2a

3

≤1即0＜a≤

3

2

；③当1＜

2a

3

＜2即 

3

2

＜a＜3；④

2a

3

≥2即a≥3，求出相应的最小值，从而可求实数a的取值范围．

解答： 解：要使f（x）在区间[1，2]内至少有一个实数x，使得f（x）＜0，只需f（x）在[1，2]内的最小值小于0．
∵f′（x）=3x²-2ax=x（3x-2a），且由f′（x）=0，知x₁=0，x₂=

2a

3

，
①当

2a

3

≤0即a≤0时，f′（x）＞0，∴f（x）在[1，2]上是增函数，
由f（x）_min=f（1）=3-2a＜0，解得a＞

3

2

．这与a＜0矛盾，舍去．
②当0＜

2a

3

≤1即0＜a≤

3

2

时，f′（x）＞0，∴f（x）在[1，2]上是增函数．
由f（x）_min=f（1）=3-2a＜0，解得a＞

3

2

．这与0＜a≤

3

2

矛盾，舍去．
③当1＜

2a

3

＜2即

3

2

＜a＜3时，
当1≤x＜

2a

3

时，f′（x）＜0，∴f（x）在[1，

2a

3

）上是减函数，
当

2a

3

≤x＜2时，f′（x）＞0，∴f（x）在[

2a

3

，1）上是增函数．
∴f（x）min=f（

2a

3

）=10-

4

27

a3＜0，解得a＞

3 3 20

2

．这与

3

2

＜a＜3矛盾，舍去．
④

2a

3

≥2即a≥3时，f′（x）＜0，f（x）在[1，2]上是减函数，
∴f（x）_min=f（2）=18-4a＜0，解得a＞

9

2

．结合a≥3得a＞

9

2

．
综上，a＞

9

2

时满足题意．
故答案为：（

9

2

，+∞）．

点评：本题考查函数的导数的应用，不等式恒成立的参数范围问题常采用分离参数求函数的最值．