Question

设△ABC，P₀是边AB上一定点，满足P₀B=

1

4

AB，且对于边AB任一点P，恒有

PB

•

PC

≥

P0B

•

P0C

，则三角形ABC的形状为

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：由题意 P₀、P、A、B 四点共线，建立直角坐标系，设AB=4，C（a，b），P（x，0），根据

PB

•

PC

≥

P0B

•

P0C

，得x²-4（a+1）x+a+1≥0 恒成立，由判别式△≤0，得a=0，即得点C在AB的垂直平分线上，从而得出结论．

解答： 解：根据题意，P₀、P、A、B 四点共线，
以AB所在的直线为x轴，以AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系，
设AB=4，C（a，b），P（x，0），
则A（-2，0），B（2，0），P₀（1，0）；
∵

PB

•

PC

≥

P0B

•

P0C

，∴（2-x）（a-x）≥a-1，
即 x²-（a+2）x+a+1≥0 恒成立，
∴判别式△=（a+2）²-4（a+1）≤0；
解得a²≤0，
∴a=0，即点C在AB的垂直平分线上，
∴CA=CB，即△ABC是等腰三角形．
故答案为：等腰三角形．

点评：本题考查了平面向量的数量积的运算问题，解题时应根据题意，建立适当地直角坐标系，利用平面向量的坐标运算，以简化运算，是中档题．