Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，PD⊥平面ABCD，E、F分别是PB、AD的中点，PD=2．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PDC；
（Ⅱ）求三棱锥B-AEF的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）取PC的中点G，证明四边形EFGD是平行四边形，可得EF∥GD，证得EF∥平面PDC．
（Ⅱ）取BD中点O，可证EO⊥底面ABCD，利用等体积转换，即可求三棱锥B-AEF的体积．

解答： （Ⅰ）证明：取PC的中点G，连结EG，GD，则EG∥BC，EG=

1

2

BC，
∴GE∥DF
∴四边形EFGD是平行四边形，∴EF∥GD，
又EF?平面PDC，DG?平面PDC
∴EF∥平面PDC．
（2）解：取BD中点O，连接EO，则EO∥PD，
∵PD⊥平面ABCD，∴EO⊥底面ABCD，EO=1，
∴VB-AEF=VE-ABF=

1

3

S△ABF•OE=

1

3

•

1

4

•22•1=

1

3

点评：本题考查证明线面平行、线线垂直的方法，求棱锥的体积，取PC的中点G和取BD中点O是解题的关键．