Question

10．已知数列{a_n}是等差数列，且满足：a₁+a₂+a₃=6，a₅=5；数列{b_n}满足：b_n-b_n-1=${2^{{a_{n-1}}}}$（n≥2，n∈N^*），b₁=2．
（Ⅰ）求a_n和b_n；
（Ⅱ）记数列c_n=a_nb_n（n∈N^*），若{c_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）a₁+a₂+a₃=6，a₅=5，可得$\left\{\begin{array}{l}3{a_1}+3d=6\\{a_1}+4d=5\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}{a_1}=1\\ d=1\end{array}\right.$，即可得出a_n；又${b_n}-{b_{n-1}}={2^{{a_{n-1}}}}={2^{n-1}}$，利用累加求和方法即可得出b_n．
（Ⅱ）c_n=a_n•b_n=n•2ⁿ，利用错位相减法即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵a₁+a₂+a₃=6，a₅=5，
∴$\left\{\begin{array}{l}3{a_1}+3d=6\\{a_1}+4d=5\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}{a_1}=1\\ d=1\end{array}\right.$，…（2分）
∴a_n=n；…（3分）
又${b_n}-{b_{n-1}}={2^{{a_{n-1}}}}={2^{n-1}}$，
∴当n≥2时，b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+（b_n-2-b_n-3）+…+（b₃-b₂）+（b₂-b₁）+b₁
∴${b_n}={2^n}$，…（4分）
又b₁=2适合上式，∴${b_n}={2^n}$．…（6分）
（Ⅱ）∵c_n=a_n•b_n=n•2ⁿ，
∴T_n=2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
2T_n=2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

点评 本题考查等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、累加求和方法、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．