Question

20．在直角坐标系xOy中，点P到两点（0，-$\sqrt{3}$），（0，$\sqrt{3}$）的距离之和等于4．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）设点P的轨迹为C，直线y=kx+1与C交于A，B两点，若$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，求k的值．

Answer 1

分析 （1）设出P的坐标，由题意可知点P的轨迹C是以（0，-$\sqrt{3}$）、（0，$\sqrt{3}$）为焦点，长半轴为2的椭圆，由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，由根与系数的关系得到A，B的横坐标的和与积，结合$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，利用数量积为0求得k值．

解答 解：（1）设P（x，y），∵4$＞2\sqrt{3}$，
∴由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以（0，-$\sqrt{3}$）、（0，$\sqrt{3}$）为焦点，长半轴为2的椭圆，
它的短半轴b=$\sqrt{{2}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}=1$，
故曲线C的方程为x²+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，消去y并整理，得（k²+4）x²+2kx-3=0．
其中△=4k²+12（k²+4）＞0恒成立．
故x₁+x₂=-$\frac{2k}{{k}^{2}+4}$，x₁x₂=-$\frac{3}{{k}^{2}+4}$．
若$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，则x₁x₂+y₁y₂=0．
而y₁y₂=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1，
于是x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=$（1+{k}^{2}）•（-\frac{3}{{k}^{2}+4}）+k•（\frac{-2k}{{k}^{2}+4}）+1$=0，
化简得-4k²+1=0，解得k=±$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查了直线与椭圆位置关系的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．