Question

9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．$\overrightarrow m=（\sqrt{3}a{，_{\;}}b）$，$\overrightarrow n=（cosB，sinA）$
（Ⅰ）若$\overrightarrow m•\overrightarrow n=\sqrt{3}$c，求角A；
（Ⅱ）若向量$\overrightarrow m$与向量$\overrightarrow g=（1，1）$共线，c=2，且△ABC的面积为$\sqrt{3}$，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用$\overrightarrow m•\overrightarrow n=\sqrt{3}$c，结合正弦定理以及两角和与差的三角函数化简方程，转化求角A；
（Ⅱ）利用向量共线，三角形的面积，转化求解a即可．

解答 解：（Ⅰ）由$\overrightarrow m•\overrightarrow n=\sqrt{3}c$，即$\sqrt{3}acosB+bsinA=\sqrt{3}c$，
由正弦定理可得$\sqrt{3}sinAcosB+sinBsinA=\sqrt{3}sinC$=$\sqrt{3}sin（A+B）$．
即$\sqrt{3}sinAcosB+sinBsinA=\sqrt{3}sinAcosB+\sqrt{3}cosAsinB$．
即$sinBsinA=\sqrt{3}cosAsinB$，∴$sinA=\sqrt{3}cosA$，
∴$tanA=\sqrt{3}$，∴A=60°．
（Ⅱ）由${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=\sqrt{3}$得：a²sinC=2①
由$4{a^2}-2\sqrt{3}{a^2}cosC=4$得：${a^2}（2-\sqrt{3}cosC）=2$②
由①，②得：$sinC=2-\sqrt{3}cosC$，即$sin（C+\frac{π}{3}）=1$，
∴$C=\frac{π}{6}$，${a^2}=\frac{2}{sinC}=4$．
∴a=2．

点评 本题考查三角形的解法，正弦定理以及两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力．