Question

已知函数f（x）=|x-5|-|2x-2|+2．
（1）求f（x）的值域；
（2）关于x的不等式f（x）≤t+

1

t

，对t＞0恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法,函数的值域

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）化简函数f（x）的解析式，利用函数的单调性求出f（x）的值域．
（2）利用基本不等式可得f（x）≤2，数形结合求得此不等式的解集．

解答： 解：（1）函数f（x）=|x-5|-|2x-2|+2=

x+5，x＜1 9-3x，1≤x＜5 -x-1，x≥5

，故函数f（x）在（-∞，1）上是增函数，
f（x）在[1，+∞）上是减函数，
故当x=1时，函数f（x）取得最大值为f（1）=6，f（x）没有最小值，故函数f（x）的值域为（-∞，6]．
（2）对t＞0，则有t+

1

t

≥2，故有f（x）≤2．
令f（x）=2，求得x=-3，或x=

7

3

，数形结合求得f（x）≤2的解集为（-∞，-3]∪[

7

3

，+∞）．
即要求的x的取值范围为（-∞，-3]∪[

7

3

，+∞）．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．