Question

某校为了了解新的一轮数改墨水有效性的“认可度”，在全校师生（可认为很多人）进行了“认可度”的问卷调查，现随机抽查50名师生，对他们的“认可度”的问卷调查，现随机抽查50名师生，对他们的“认可度”统计分析得如图：
（1）求这50名师生的“认可度”的平均值（每一区间取中点值计算）；
（2）求从这50名师生中任取一人的“认可度”的分数在60（含）分以上的概率；
（3）以这50名师生的“认可度”来估计全校师生总体“认可度”的评价，若从中随机抽取4人的“认可度”，用ξ表示抽到的“认可度”分数在60（含）分以上的人数，求ξ的分布列与整数期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（1）根据频率分布直方图和平均数的求法求出50名师生的“认可度”的平均值即可．
（2）由频率分布图知这50名师生中“认可度”的分数在60（含）分以上的人数为40人，由此能求出这50名师生中任取一人的“认可度”的分数在60（含）分以上的概率．
（3）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列与整数期望．

解答： 解：（1）由频率分布直方图，得：

.

x

=

1

50

（10×1+30×4+50×5+70×33+90×7）=66.4．
∴这50名师生的“认可度”的平均值为66.4．
（2）由频率分布图知：
这50名师生中“认可度”的分数在60（含）分以上的人数为：33+7=40人，
∴这50名师生中任取一人的“认可度”的分数在60（含）分以上的概率为：
P=

40

50

=

4

5

．
（3）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，4，
P（ξ=0）=

C 4 10

C 4 50

=

21

23030

，
P（ξ=1）=

C 1 40 C 3 10

C 4 50

=

48

2303

，
P（ξ=2）=

C 2 40 C 2 10

C 4 50

=

351

2303

，
P（ξ=3）=

C 3 40 C 1 10

C 4 50

=

988

2303

，
P（ξ=4）=

C 4 40

C 4 50

=

9139

23030

，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	21 23030	48 2303	351 2303	988 2303

Eξ=0×

21

23030

+1×

48

2303

+2×

351

2303

+3×

988

2303

≈2．

点评：本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．