Question

设S_n是正项数列{a_n}的前n项和且n∈N^*，S_n=

1

4

a_n²+

1

2

a_n-

3

4

，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知得S1=a1=

1

4

a12+

1

2

a1-

3

4

，S_n-S_n-1=a_n=

1

4

a_n²+

1

2

a_n-

1

4

a_n-1²-

1

2

a_n-1，从而（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，进而推导出数列{a_n}是首项为3，公差为1的等差数列，由此能求出a_n．

解答： 解：∵S_n是正项数列{a_n}的前n项和且n∈N^*，S_n=

1

4

a_n²+

1

2

a_n-

3

4

，①
∴n=1时，S1=a1=

1

4

a12+

1

2

a1-

3

4

，
整理，得a12-2a1-3=0，
解得a₁=3或a₁=-1（舍），
当n≥2时，S_n-1=

1

4

a_n-1²+

1

2

a_n-1-

3

4

，②
①-②，得：S_n-S_n-1=a_n=

1

4

a_n²+

1

2

a_n-

1

4

a_n-1²-

1

2

a_n-1，
整理，得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵正项数列{a_n}中，a_n+a_n-1＞0，
∴a_n-a_n-1-1=0，
∴数列{a_n}是首项为3，公差为1的等差数列，
∴a_n=3+（n-1）×1=n+2．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要注意递推公式和等差数列的性质的合理运用．