Question

（本题满分13 分）
已知椭圆的右焦点F 与抛物线y² =" 4x" 的焦点重合，短轴长为2．椭圆的右准线l与x轴交于E，过右焦点F 的直线与椭圆相交于A、B 两点，点C 在右准线l上，BC//x 轴．
（1）求椭圆的标准方程，并指出其离心率；
（2）求证：线段EF被直线AC 平分．

Answer 1

(1)
(2) 线段EF被直线AC平分。

解：（1）由题意，可设椭圆的标准方程为……1分
的焦点为F（1，0）

……………………3分
所以，椭圆的标准方程为
其离心率为 ……………………5分
（2）证明：∵椭圆的右准线1的方程为：x=2，
∴点E的坐标为（2，0）设EF的中点为M，则
若AB垂直于x轴，则A（1，y₁），B（1，－y₁），C（2，－y₁）
∴AC的中点为
∴线段EF的中点与AC的中点重合，
∴线段EF被直线AC平分，…………………………6分
若AB不垂直于x轴，则可设直线AB的方程为

则…………………………7分
把
得 ………………8分
则有………………9分
∴
……………………10分
∵

∴
∴A、M、C三点共线，即AC过EF的中点M，
∴线段EF被直线AC平分。………………………………13分