Question

19．已知f（x）=xlnx，g（x）=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）设F（x）=f（x）+g（x），求函数F（x）的图象在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）求证：e^f（x）≥g（x）对任意的x∈（0，+∞）恒成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设F（x）=f（x）+g（x），求出切线斜率、切点坐标，即可求函数F（x）的图象在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）令$G（x）={e^{f（x）}}-g（x）={e^{xlnx}}-\frac{1}{2}{x^2}-\frac{1}{2}$，证明G（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，G（x）_min=G（1）=0，即可证明：e^f（x）≥g（x）对任意的x∈（0，+∞）恒成立．

解答 （Ⅰ）解：$F（x）=f（x）+g（x）=xlnx+\frac{1}{2}{x^2}+\frac{1}{2}$，F'（x）=1+lnx+x，则F（1）=1，F'（1）=2，
∴F（x）图象在x=1处的切线方程为y-1=2（x-1）即2x-y-1=0（3分）
（Ⅱ）证明：令$G（x）={e^{f（x）}}-g（x）={e^{xlnx}}-\frac{1}{2}{x^2}-\frac{1}{2}$，G'（x）=e^xlnx（1+lnx）-x（4分）
则$G''（x）={e^{xlnx}}{（1+lnx）^2}+{e^{xlnx}}•\frac{1}{x}-1={e^{xlnx}}{（1+lnx）^2}+{e^{（x-1）lnx}}-1$
∵x-1与lnx同号∴（x-1）lnx≥0，∴e^（x-1）lnx-1≥0
∴G''（x）＞0，∴G'（x）在x∈（0，+∞）单调递增                                 （6分）
又G'（1）=0，∴当0＜x＜1时，G'（x）＜0；当x＞1时，G'（x）＞0，
∴G（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，∴G（x）_min=G（1）=0
∴G（x）≥0即e^f（x）≥g（x）对任意的x∈（0，+∞）恒成立

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何运用，考查不等式的证明，正确构造函数，切点函数的单调性是关键．