Question

14．已知非零正实数x₁，x₂，x₃依次构成公差不为零的等差数列，设函数f（x）=x^α，α∈{-1，$\frac{1}{2}$，2，3}，并记M={-1，$\frac{1}{2}$，2，3}．下列说法正确的是（　　）

• A． 存在α∈M，使得f（x₁），f（x₂），f（x₃）依次成等差数列
• B． 存在α∈M，使得f（x₁），f（x₂），f（x₃）依次成等比数列
• C． 当α=2时，存在正数λ，使得f（x₁），f（x₂），f（x₃）-λ依次成等差数列
• D． 任意α∈M，都存在正数λ＞1，使得λf（x₁），f（x₂），f（x₃）依次成等比数列

Answer 1

分析 由等差数列得x₂=$\frac{{x}_{1}+{x}_{3}}{2}$，假设各结论成立，将x₂=$\frac{{x}_{1}+{x}_{3}}{2}$代入结论推导结果看是否与条件一致进行判断．

解答 解：∵x₁，x₂，x₃依次构成公差不为零的等差数列，∴x₂=$\frac{{x}_{1}+{x}_{3}}{2}$，且x₁，x₂，x₃两两不相等．
（1）∵当α∈M时，f（x）的变化率随x的变化而变化，∴f（x₁），f（x₂），f（x₃）不可能成等差数列，故A错误；
（2）若f（x₁），f（x₂），f（x₃）成等比数列，则x₁^αx₃^α=（$\frac{{x}_{1}+{x}_{3}}{2}$）^2α，∴x₁x₃=（$\frac{{x}_{1}+{x}_{3}}{2}$）²，
整理得（x₁-x₃）²=0，∴x₁=x₃．与x₁，x₂，x₃依次构成公差不为零的等差数列相矛盾，故B错误．
（3）当α=2时，假设f（x₁），f（x₂），f（x₃）-λ依次成等差数列，
则x₁²+x₃²-λ=2（$\frac{{x}_{1}+{x}_{3}}{2}$）²，∴λ=x₁²+x₃²-$\frac{（{x}_{1}+{x}_{3}）^{2}}{2}$=$\frac{（{x}_{1}-{x}_{3}）^{2}}{2}$＞0．故C正确；
（4）假设λf（x₁），f（x₂），f（x₃）依次成等比数列，
则λx₁^αx₃^α=（$\frac{{x}_{1}+{x}_{3}}{2}$）^2α，∴λ=$[\frac{（{x}_{1}+{x}_{3}）^{2}}{4{x}_{1}{x}_{3}}]^{α}$，∵$\frac{（{x}_{1}+{x}_{3}）^{2}}{4{x}_{1}{x}_{3}}$=$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{3}}^{2}+2{x}_{1}{x}_{3}}{4{x}_{1}{x}_{3}}$≥1，当且仅当x₁=x₃取等号．
∴当α＞0时，λ＞1，当α＜0时，λ＜1．故D错误．
故选：C．

点评 本题考查了等差，等比数列的性质，幂函数的性质，属于中档题．