Question

8．根据下列条件，求双曲线的标准方程．
（1）经过两点$P（{-3，2\sqrt{7}}）$和$Q（{-6\sqrt{2}，-7}）$；
（2）与双曲线$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1$有共同的渐近线，且过点$（{2，2\sqrt{3}}）$．

Answer 1

分析 （1）设双曲线的方程为my²-ny²=1（mn＞0），代入P，Q的坐标，解方程即可得到所求双曲线的方程；
（2）设所求双曲线的方程为$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=λ（{λ≠0}）$，代入点$（{2，2\sqrt{3}}）$，解方程即可得到所求双曲线的方程．

解答 解：（1）设双曲线的方程为my²-ny²=1（mn＞0），
将点P、Q坐标代入可得9m-28n=1，且72m-49n=1，
求得$m=-\frac{1}{75}$，$n=-\frac{1}{25}$．
∴双曲线的标准方程为$\frac{y^2}{25}-\frac{x^2}{75}=1$．
（2）设所求双曲线的方程为$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=λ（{λ≠0}）$，
点$（{2，2\sqrt{3}}）$代入得$\frac{4}{4}$-$\frac{12}{3}$=λ，
解得λ=-3，
∴所求双曲线的标准方程为$\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{12}=1$．

点评 本题考查双曲线的方程的求法，注意运用待定系数法，以及与渐近线方程的关系，考查运算能力，属于中档题．