以平面直角坐标系的原点为极点.x轴的正半轴为极轴.建立极坐标系.两种坐标系中取相同的长度单位．已知曲线C1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$.(α为参数.且α∈[0.π]).曲线C2的极坐标方程为ρ=-2sinθ．(Ⅰ)求C1的极坐标方程与C2的直角坐� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

3．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$，（α为参数，且α∈[0，π]），曲线C₂的极坐标方程为ρ=-2sinθ．
（Ⅰ）求C₁的极坐标方程与C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）若P是C₁上任意一点，过点P的直线l交C₂于点M，N，求|PM|•|PN|的取值范围．

分析（1）求出C₁的普通方程，即可求C₁的极坐标方程，利用极坐标方程与直角坐标方程的互化方法得出C₂的直角坐标方程；
（2）直线l的参数方程，代入C₂的直角坐标方程得（x₀+tcosα）²+（y₀+tsinα+1）²=1，由直线参数方程中t的几何意义可知|PM|•|PN|=|1+2y₀|，即可求|PM|•|PN|的取值范围．

解答解：（1）消去参数可得x²+y²=1，由α∈[0，π），则-1?x?1，0?y?1，
∴曲线C₁是x²+y²=1在x轴上方的部分，
∴曲线C₁的极坐标方程为ρ=1（0?θ?π）．…（2分）
曲线C₂的直角坐标方程为x²+（y+1）²=1；…（5分）
（2）设P（x₀，y²），则0?y₀?1，直线l的倾斜角为α，
则直线l的参数方程为：{x=x₀+tcosαy=y₀+tsinα}（t为参数）．…（7分）
代入C₂的直角坐标方程得（x₀+tcosα）²+（y₀+tsinα+1）²=1，
由直线参数方程中t的几何意义可知|PM|?|PN|=|1+2y₀|，
因为0?y²?1，
∴|PM|?|PN|=∈[1，3]…（10分）

点评本题考查极坐标与直角坐标系的转化，直线的参数方程，考查转化思想，属于中档题．

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：高中数学 来源： 题型：选择题

17．已知tanα，$\frac{1}{tanα}$是关于x的方程x²-kx+k²-3=0的两个实根，且3π＜α＜$\frac{7}{2}$π，则cosα+sinα=（　　）

A．

$\sqrt{3}$

B．

$\sqrt{2}$

C．

-$\sqrt{2}$

D．

-$\sqrt{3}$

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：解答题

14．某校高二2班学生每周用于数学学习的时间x（单位：h）与数学成绩y（单位：分）之间有如表数据：

x	24	15	23	19	16	11	20	16	17	13
y	92	79	97	89	64	47	83	68	71	59

（Ⅰ）求线性回归方程；
（Ⅱ）该班某同学每周用于数学学习的时间为18小时，试预测该生数学成绩．
参考数据：$\overline x=17.4$，$\overline y=74.9$，$\sum_{i=1}^{10}{{x_i}^2=3182}$，$\sum_{i=1}^{10}{{y_i}^2=58375}$，$\sum_{i=1}^{10}{{x_i}{y_i}=13578}$
回归直线方程参考公式：$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}}-n\overline x\overline y}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2}-n{{\overline x}^2}}}$，$\widehata=\overline y-\widehatb\overline x$．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：解答题

11．已知曲线C：y²=4x，M：（x-1）²+y²=4（x≥1），直线l与曲线C相交于A、B两点，O为坐标原点．
（Ⅰ）若$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=-4$，求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；
（Ⅱ）若直线l与曲线C₁相切，M（1，0），求$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$的取值范围．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：填空题

18．直线y=kx+1与曲线y=x³+ax+b相切于点A（1，2），则b-a=5．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：填空题

8．已知函数f（x）（x∈R）满足f（-x）=4-f（x），函数$g（x）=\frac{x-2}{x-1}+\frac{x}{x+1}$，若曲线y=f（x）与y=g（x）图象的交点分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₃），…，（x_m，y_m），则$\sum_{i=1}^m{（{x_i}+{y_i}）=}$2m（结果用含有m的式子表示）．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：填空题

15．过两点M（1，2），N（3，4）的直线的斜率为1．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：选择题