Question

8．已知函数f（x）（x∈R）满足f（-x）=4-f（x），函数$g（x）=\frac{x-2}{x-1}+\frac{x}{x+1}$，若曲线y=f（x）与y=g（x）图象的交点分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₃），…，（x_m，y_m），则$\sum_{i=1}^m{（{x_i}+{y_i}）=}$2m（结果用含有m的式子表示）．

Answer 1

分析 通过f（-x）=4-f（x）可知y=f（x）关于点（0，2）对称，化简可知g（x）+g（x）=4，进而y=g（x）关于点（0，2）对称，从而曲线y=f（x）与y=g（x）图象的交点关于点（0，2）对称，计算即得结论．

解答 解：因为f（-x）=4-f（x），
所以y=f（x）关于点（0，2）对称，
因为$g（x）=\frac{x-2}{x-1}+\frac{x}{x+1}$，
所以g（-x）=$\frac{-x-2}{-x-1}$+$\frac{-x}{-x+1}$=$\frac{x+2}{x+1}$+$\frac{x}{x-1}$，
所以g（x）+g（x）=4，
所以y=g（x）关于点（0，2）对称，
所以曲线y=f（x）与y=g（x）图象的交点关于点（0，2）对称，
所以x_i+y_i=2，
所以$\sum_{i=1}^m{（{x_i}+{y_i}）=}$2m，
故答案为：2m．

点评 本题主要考查函数的图象的对称性的应用，属于中档题．