Question

如图，底面边长为a，高为h的正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，其中D是AB的中点，E是BC的三等分点．求几何体BDEA₁B₁C₁的体积．

Answer 1

a²h.

学生错解：解∵BD＝，BE＝，∠DBE＝60°，
∴S_△DBE＝BD·BEsin∠DBE＝a²，S△A₁B₁C₁＝·A₁B₁·B₁C₁sin60°＝a².
由棱台体积公式得
VBDEA₁B₁C₁＝h(S_△BDE＋S△A₁B₁C₁＋)
＝h＝a²h.
审题引导：(1)弄清组合体的结构，这里几何体DBEA₁B₁C₁不是棱台，也可补上一个三棱锥使之成为一个三棱台；(2)运用体积公式进行计算．
规范解答：

解：如图，取BC中点F，连结DF、C₁D、C₁E、C₁F，得正三棱台DBFA₁B₁C₁及三棱锥C₁DEF.
∵S△A₁B₁C₁＝a²，S_△DBF＝S_△ABC＝a²，(4分)
∴VDBFA₁B₁C₁＝h(S_△DBF＋S△A₁B₁C₁＋)
＝h(a²＋a²＋)＝a²h.(8分)
∴VC₁DEF＝a²＝a²h，(10分)
∴VBDEA₁B₁C₁＝VDBFA₁B₁C₁VC₁DEF＝a²h－a²h＝a²h.(14分)
错因分析：没有弄清所给几何体的结构，几何体DBEA₁B₁C₁不是棱台．