Question

10．函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意两个正数x₁，x₂（x₁＜x₂）都有x₂f（x₁）＞x₁f（x₂），记a=$\frac{1}{2}$f（2），b=f（1），c=-$\frac{1}{3}$f（-3），则a，b，c之间的大小关系为（　　）

• A． a＞b＞c
• B． b＞a＞c
• C． c＞b＞a
• D． a＞c＞b

Answer 1

分析 根据题意得出$\frac{f{（x}_{1}）}{{x}_{1}}$＞$\frac{f{（x}_{2}）}{{x}_{2}}$，构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，则g（x）在（0，+∞）上是单调减函数；
变形a、b、c，比较它们的大小即可．

解答 解：函数f（x）是定义在R上的奇函数，
且对任意两个正数x₁，x₂（x₁＜x₂），都有x₂f（x₁）＞x₁f（x₂），
∴$\frac{f{（x}_{1}）}{{x}_{1}}$＞$\frac{f{（x}_{2}）}{{x}_{2}}$；
设g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，g（x）在（0，+∞）上是单调减函数；
又a=$\frac{1}{2}$f（2）=$\frac{f（2）}{2}$，
b=f（1）=$\frac{f（1）}{1}$，
c=-$\frac{1}{3}$f（-3）=$\frac{1}{3}$f（3）=$\frac{f（3）}{3}$，
∴g（1）＞g（2）＞g（3），
即b＞a＞c．
故选：B．

点评 本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，也考查了构造函数的应用问题，是中档题．