Question

6．设函数f（x）的导函数为 f′（x），对任意x∈R都有f（x）＞f′（x）成立，则（　　）

• A． 3f（ln2）＜2f（ln3）
• B． 3f（ln2）=2f（ln3）
• C． 3f（ln2）＞2f（ln3）
• D． 3f（ln2）与2f（ln3）的大小不确定

Answer 1

分析 构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，利用导数可判断g（x）的单调性，由单调性可得g（ln2）与g（ln3）的大小关系，整理即可得到答案．

解答 解：构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，
∴g′（x）=$\frac{1}{{e}^{x}}$[f'（x）-f（x）]，
∵对任意x∈R都有f（x）＞f′（x）成立，
∴所以g′（x）＜0，即g（x）在R上单调递减，
又ln2＜ln3，
∴g（ln2）＞g（ln3），
∴$\frac{f（ln2）}{{e}^{ln2}}$＞$\frac{f（ln3）}{{e}^{ln3}}$，
∴$\frac{f（ln2）}{2}$＞$\frac{f（ln3）}{3}$，
∴3f（ln2）＞2f（ln3）．
故选：C．

点评 本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性，属中档题，解决本题的关键是根据选项及已知条件合理构造函数，利用导数判断函数的单调性．