Question

6．已知函数f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{-x+4，x≤2}\\{{a^x}+2a+1，x＞2}\end{array}}$，其中a＞0且a≠1．若a=$\frac{1}{2}$时方程f（x）=b有两个不同的实根，则实数b的取值范围是（2，$\frac{9}{4}$）；若f（x）的值域为[2，+∞），则实数a的取值范围是[$\frac{1}{2}$，1）∪（1，+∞）．

Answer 1

分析 作出f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{4-x，x≤2}\\{0．{5}^{x}+2，x＞2}\end{array}\right.$的图象，由图象即可得到y=f（x）和y=b有两个交点的情况；运用一次函数和指数函数的图象和性质，可得值域，讨论a＞1，0＜a＜1两种情况，即可得到所求a的范围．

解答 解：作出f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{4-x，x≤2}\\{0．{5}^{x}+2，x＞2}\end{array}\right.$的图象，
由a=$\frac{1}{2}$时方程f（x）=b有两个不同的实根，
可得b＞2，且b＜2+0.5²=$\frac{9}{4}$，
即有b∈（2，$\frac{9}{4}$）；
函数f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{-x+4，x≤2}\\{{a^x}+2a+1，x＞2}\end{array}}$，
当0＜a＜1时，x≤2时，f（x）=4-x≥2，
x＞2时，f（x）=a^x+2a+1递减，
可得2a+1＜f（x）＜a²+2a+1，
f（x）的值域为[2，+∞），可得2a+1≥2，解得$\frac{1}{2}$≤a＜1；
当a＞1时，x≤2时，f（x）=4-x≥2，
x＞2时，f（x）=a^x+2a+1递增，
可得f（x）＞a²+2a+1＞4，
则f（x）的值域为[2，+∞）成立，a＞1恒成立．
综上可得a∈[$\frac{1}{2}$，1）∪（1，+∞）．
故答案为：（2，$\frac{9}{4}$），[$\frac{1}{2}$，1）∪（1，+∞）．

点评 本题考查函数方程的转化思想和函数的值域的问题解法，注意运用数形结合和分类讨论的思想方法，考查推理和运算能力，属于中档题．