Question

19．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|x+1|-2a，x≤0}\\{lo{g}_{3}x，x＞0}\\{\;}\end{array}\right.$．
①当a=0时，若f（x）=0，则x=±1；
②若f（x）有三个不同零点，则实数a的取值范围为0＜a≤$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 ①根据分段函数表达式，对x分类求解即可；
②结合分段函数，得出当x≤0时，需有两个不同零点，|x+1|=2a在x＜0有两跟，相当于函数y=|x+1|与y=2a有两交点，利用数形结合得出答案．

解答 解：若x＜0，
∴|x+1|=0，x=-1；
若x＞0，
∴x=1，
故①答案为±1；
②显然当x＞0时，有一个零点x=1，
当x≤0时，需有两个不同零点，
∴|x+1|=2a在x＜0有两跟，
∴0＜2a≤1，
∴0＜a≤$\frac{1}{2}$．
故②答案为0＜a≤$\frac{1}{2}$．

点评 考查了分段函数的分类讨论和分段函数零点问题．难点是利用数学结合求解交点问题．