Question

已知函数f（x）=

2

x-1

．
（1）判断并证明函数f（x）在区间[2，6]上的单调性；
（2）求函数f（x）在区间[2，6]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：函数单调性的性质,函数单调性的判断与证明

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）函数f（x）在区间[2，6]上为减函数．运用单调性的定义证明，注意作差、变形、定符号、下结论几个步骤；
（2）由（1）的结论：函数f（x）在区间[2，6]上为减函数，即可得到最值．

解答： 解：（1）函数f（x）在区间[2，6]上为减函数．
理由如下：设2≤m＜n≤6，则f（m）-f（n）=

2

m-1

-

2

n-1

=

2(n-m)

(m-1)(n-1)

，由于2≤m＜n≤6，则n-m＞0，m-1＞0，n-1＞0，
则f（m）-f（n）＞0，即f（m）＞f（n）．
则函数f（x）在区间[2，6]上为减函数；
（2）由于函数f（x）在区间[2，6]上为减函数，
则f（2）最大且为2，f（6）最小且为

2

5

．

点评：本题考查函数的单调性的判断和运用：求最值，属于中档题．