Question

7．在直角坐标系xOy中，点P到两点（0，-$\sqrt{3}$），（0，$\sqrt{3}$）的距离之和等于4，设点P的轨迹为C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点（0，$\sqrt{3}$）作直线l与曲线C交于点A、B，以线段AB为直径的圆能否过坐标原点，若能，求出直线l的方程，若不能请说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接由椭圆的定义可得曲线C的方程；
（2）设直线1：y=kx+$\sqrt{3}$，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线方程和椭圆方程联立消去y，根据根与系数的关系求得x₁+x₂和x₁x₂的表达式，再由以线段AB为直径的圆过坐标原点，推断出x₁x₂+y₁y₂=0．求得k，得到直线方程．

解答 解：（1）由椭圆的定义可知，点P的轨迹是以（0，-$\sqrt{3}$），（0，$\sqrt{3}$）为焦点，长半轴为2的椭圆．
它的短半轴b=$\sqrt{{2}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}=1$，
故曲线C的方程为：${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）若能，则直线l的斜率存在，设直线1：y=kx+$\sqrt{3}$，
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\sqrt{3}}\\{{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，消去y并整理得$（{k}^{2}+4）{x}^{2}+2\sqrt{3}kx-1=0$，
△=16k²+16＞0．
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-2\sqrt{3}k}{{k}^{2}+4}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{-1}{{k}^{2}+4}$．
以线段AB为直径的圆过坐标原点，则$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=0．
而${y}_{1}{y}_{2}={k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+\sqrt{3}k（{x}_{1}+{x}_{2}）+3$，
于是${x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}=-\frac{1}{{k}^{2}+4}-\frac{{k}^{2}}{{k}^{2}+4}-\frac{6{k}^{2}}{{k}^{2}+4}$+3=0，
化简得-4k²+11=0，解得k²=$\frac{11}{4}$，即k=$±\frac{\sqrt{11}}{2}$，
∴直线l的方程为y=$±\frac{\sqrt{11}}{2}x+\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了椭圆的应用，考查了学生对问题的综合分析和基本的运算能力，是中档题．