Question

【题目】如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是AC的中点，A1D⊥平面ABC，AB=BC，平面BB1D与棱A1C1交于点E．

（1）求证：AC⊥A1B；

（2）求证：平面BB1D⊥平面AA1C1C；

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（Ⅰ）推导出A1D⊥AC，BD⊥AC，从而AC⊥平面A1BD，由此能证明AC⊥A1B．

（Ⅱ）推导出A1D⊥BD，BD⊥AC，从而BD⊥平面A1ACC1，由此能证明平面BB1D⊥平面AA1C1C．

证明：（1）因为 A1D⊥平面ABC，所以 A1D⊥AC．

因为△ABC中，AB=BC，D是AC的中点，所以 BD⊥AC．

因为 A1D∩BD=D，

所以 AC⊥平面A1BD．

所以 AC⊥A1B．

（2） 因为 A1D⊥平面ABC，

因为 BD平面ABC，所以 A1D⊥BD．

由（1）知 BD⊥AC．

因为 AC∩A1D=D，

所以 BD⊥平面A1ACC1．

因为 BD平面BB1D，

所以 平面BB1D⊥平面AA1C1C．